Struktura podataka binarnog stabla pretraživanja objašnjena s primjerima

Stablo je struktura podataka sastavljena od čvorova koja ima sljedeće značajke:

  1. Svako stablo ima korijenski čvor (na vrhu) koji ima neku vrijednost.
  2. Korijenski čvor ima nula ili više podređenih čvorova.
  3. Svaki podređeni čvor ima nula ili više podređenih čvorova itd. Ovo stvara drvo u stablu. Svaki čvor ima svoje poddrvo koje čine njegova djeca i njihova djeca itd. To znači da svaki čvor sam po sebi može biti stablo.

Binarno stablo pretraživanja (BST) dodaje ove dvije karakteristike:

  1. Svaki čvor ima najviše do dvoje djece.
  2. Za svaki čvor vrijednosti njegovih lijevih čvorova silaznih skupina manje su od vrijednosti trenutnog čvora, a zauzvrat su manje od čvorova desnih potomaka (ako ih ima).

BST je izgrađen na ideji binarnog algoritma pretraživanja, koji omogućuje brzo traženje, umetanje i uklanjanje čvorova. Način na koji su postavljeni znači da u prosjeku svaka usporedba omogućuje operacijama preskakanje oko polovice stabla, tako da svako traženje, umetanje ili brisanje uzima vrijeme proporcionalno logaritmu broja stavki pohranjenih u stablu, O(log n).

Međutim, ponekad se dogodi najgori slučaj kada stablo nije uravnoteženo i složenost vremena je O(n)za sve tri ove funkcije. Zbog toga su samobalansirajuća stabla (AVL, crveno-crna, itd.) Puno učinkovitija od osnovnog BST-a.

Primjer najgoreg scenarija: To se može dogoditi kada nastavite dodavati čvorove koji su uvijek veći od čvora prije (njegov je roditelj), isto se može dogoditi kada čvorove uvijek dodate s vrijednostima nižim od njihovih roditelja.

Osnovne operacije na BST-u

  • Stvori: stvara prazno stablo.
  • Umetni: umetnite čvor u stablo.
  • Pretraživanje: traži čvor na drvetu.
  • Delete: briše čvor sa stabla.

Stvoriti

U početku se stvara prazno stablo bez ikakvih čvorova. Varijabla / identifikator koji mora ukazivati ​​na korijenski čvor inicijalizira se NULLvrijednošću.

traži

Stablo uvijek započnete pretraživati ​​na korijenskom čvoru i odatle se spuštate dolje. Usporedite podatke u svakom čvoru s onim kojeg tražite. Ako se uspoređeni čvor ne podudara, tada prelazite na desno ili lijevo dijete, što ovisi o ishodu sljedeće usporedbe: Ako je čvor koji tražite niži od onog s kojim ste ga uspoređivali, nastavite do lijevog djeteta, u suprotnom (ako je veće) idete do desnog djeteta. Zašto? Budući da je BST strukturiran (prema njegovoj definiciji), da je desno dijete uvijek veće od roditelja, a lijevo dijete uvijek manje.

Umetnuti

Vrlo je slična funkciji pretraživanja. Ponovno započinjete od korijena stabla i spuštate se rekurzivno, tražeći pravo mjesto za umetanje našeg novog čvora, na isti način kao što je objašnjeno u funkciji pretraživanja. Ako je čvor s istom vrijednošću već u stablu, možete odabrati umetanje duplikata ili ne. Neka stabla dopuštaju duplikate, neka ne. Ovisi o određenoj provedbi.

Izbrisati

Postoje 3 slučaja koja se mogu dogoditi kada pokušavate izbrisati čvor. Ako jest,

  1. Nema podstabla (nema djece): ovo je najlakše. Možete jednostavno izbrisati čvor, bez dodatnih radnji.
  2. Jedno podstablo (jedno dijete): Morate biti sigurni da je nakon brisanja čvora njegovo dijete povezano s roditeljem izbrisanog čvora.
  3. Dva podstabla (dvoje djece): Morate pronaći i zamijeniti čvor koji želite izbrisati njegovim nasljednikom (najsmrtonosniji čvor u desnom podstablu).

Složenost vremena za stvaranje stabla je O(1). Vremenska složenost pretraživanja, umetanja ili brisanja čvora ovisi o visini stabla h, pa je najgori slučaj O(h).

Prethodnik čvora

Prethodnici se mogu opisati kao čvor koji bi došao neposredno prije čvora na kojem se trenutno nalazite. Da biste pronašli prethodnika trenutnog čvora, pogledajte krajnji desni / najveći čvor u lijevom podstablu.

Nasljednik čvora

Nasljednici se mogu opisati kao čvor koji će doći odmah nakon čvora u kojem se trenutno nalazite. Da biste pronašli nasljednika trenutnog čvora, pogledajte krajnji lijevi / najmanji čvor u desnom podstablu.

Posebne vrste BT

  • Hrpa
  • Crveno-crno stablo
  • B-drvo
  • Splavo drvo
  • N-arno drvo
  • Trie (stablo Radix)

Vrijeme izvođenja

Struktura podataka: Niz

  • U najgorem slučaju: O(log n)
  • Najbolje izvedbe: O(1)
  • Prosječna izvedba: O(log n)
  • Složenost prostora u najgorem slučaju: O(1)

Gdje nje broj čvorova u BST-u.

Provedba BST-a

Evo definicije za BST čvor koji ima neke podatke, pozivajući se na njegov lijevi i desni podređeni čvor.

struct node { int data; struct node *leftChild; struct node *rightChild; };

Operacija pretraživanja

Kad god treba pretražiti element, započnite pretraživanje s korijenskog čvora. Zatim, ako su podaci manji od vrijednosti ključa, potražite element u lijevom podstablu. U suprotnom, potražite element u pravom podstablu. Slijedite isti algoritam za svaki čvor.

struct node* search(int data){ struct node *current = root; printf("Visiting elements: "); while(current->data != data){ if(current != NULL) { printf("%d ",current->data); //go to left tree if(current->data > data){ current = current->leftChild; }//else go to right tree else { current = current->rightChild; } //not found if(current == NULL){ return NULL; } } } return current; }

Umetni rad

Whenever an element is to be inserted, first locate its proper location. Start searching from the root node, then if the data is less than the key value, search for the empty location in the left subtree and insert the data. Otherwise, search for the empty location in the right subtree and insert the data.

void insert(int data) { struct node *tempNode = (struct node*) malloc(sizeof(struct node)); struct node *current; struct node *parent; tempNode->data = data; tempNode->leftChild = NULL; tempNode->rightChild = NULL; //if tree is empty if(root == NULL) { root = tempNode; } else { current = root; parent = NULL; while(1) { parent = current; //go to left of the tree if(data data) { current = current->leftChild; //insert to the left if(current == NULL) { parent->leftChild = tempNode; return; } }//go to right of the tree else { current = current->rightChild; //insert to the right if(current == NULL) { parent->rightChild = tempNode; return; } } } } } 

Binary search trees (BSTs) also give us quick access to predecessors and successors. Predecessors can be described as the node that would come right before the node you are currently at.

  • To find the predecessor of the current node, look at the rightmost/largest leaf node in the left subtree. Successors can be described as the node that would come right after the node you are currently at.
  • To find the successor of the current node, look at the leftmost/smallest leaf node in the right subtree.

Let’s look at a couple of procedures operating on trees.

Since trees are recursively defined, it’s very common to write routines that operate on trees that are themselves recursive.

So for instance, if we want to calculate the height of a tree, that is the height of a root node, We can go ahead and recursively do that, going through the tree. So we can say:

  • For instance, if we have a nil tree, then its height is a 0.
  • Otherwise, We’re 1 plus the maximum of the left child tree and the right child tree.

So if we look at a leaf for example, that height would be 1 because the height of the left child is nil, is 0, and the height of the nil right child is also 0. So the max of that is 0, then 1 plus 0.

Height(tree) algorithm

if tree = nil: return 0 return 1 + Max(Height(tree.left),Height(tree.right))

Here is the code in C++

int maxDepth(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else { int rDepth = maxDepth(node->right); int lDepth = maxDepth(node->left); if (lDepth > rDepth) { return(lDepth+1); } else { return(rDepth+1); } } } 

We could also look at calculating the size of a tree that is the number of nodes.

  • Again, if we have a nil tree, we have zero nodes.

Otherwise, we have the number of nodes in the left child plus 1 for ourselves plus the number of nodes in the right child. So 1 plus the size of the left tree plus the size of the right tree.

Size(tree) algorithm

if tree = nil return 0 return 1 + Size(tree.left) + Size(tree.right)

Here is the code in C++

int treeSize(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else return 1+(treeSize(node->left) + treeSize(node->right)); }

Relevant videos on freeCodeCamp YouTube channel

  • Binary Search Tree
  • Binary Search Tree: Traversal and Height

Following are common types of Binary Trees:

Full Binary Tree/Strict Binary Tree: A Binary Tree is full or strict if every node has exactly 0 or 2 children.

 18 / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40

In Full Binary Tree, number of leaf nodes is equal to number of internal nodes plus one.

Complete Binary Tree: A Binary Tree is complete Binary Tree if all levels are completely filled except possibly the last level and the last level has all keys as left as possible

 18 / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 / \ / 8 7 9