Linearna jednadžba je jednadžba koja grafički prikazuje liniju. Sustav linearnih jednadžbi je kada postoje dvije ili više linearnih jednadžbi grupiranih zajedno.
Da bismo pojednostavili ilustraciju, razmotrit ćemo sustave dviju jednadžbi. Kao što i samo ime govori, postoje dvije nepoznate varijable. Često su označeni slovima x i y . Ako jednadžbe opisuju neki postupak, slova se mogu birati prema ulogama koje igraju. Na primjer, d može značiti udaljenost, a t vrijeme.
U ovom ćemo članku naučiti kako rješavati sustave linearnih jednadžbi pomoću dvije zabavne metode. No, prije nego što započnemo, pogledajmo kako ćemo završiti s određenim sustavom gledajući primjer iz stvarnog života.
Izvođenje sustava
Dječak sjeda na bicikl i počinje se voziti do škole. Svake minute vozi 200 metara.
6 minuta kasnije, njegova majka shvaća da je njezin sin zaboravio ručak. Sjeda na vlastiti bicikl i počinje pratiti dječaka. Svake minute vozi 500 metara (Olimpijka je i osvajačica zlatne medalje).
Želimo shvatiti koliko je potrebno majci da sustigne dječaka i koliko joj treba da bi se vozila da bi to učinila.
Budući da dječak svake minute pređe 200 jardi, za t minuta preći će 200 puta t jarda ili 200t metara.
Njegova majka počinje voziti bicikl 6 minuta kasnije, pa vozi (t - 6) minuta. Budući da pokriva 500 jardi svake minute, za (t - 6) minuta pređe 500 puta (t - 6) jardi ili 500 (t - 6) jardi.
Dok ga ona sustiže, oboje su prešli istu udaljenost. Recimo za sada da je udaljenost d .
Za dječaka imamo d = 200t, a za njegovu majku d = 500 (t - 6) . Sada imamo svoj sustav dviju jednadžbi.
Često se dodaje kovrčava zagrada koja ukazuje da jednadžbe čine sustav.
Sada da vidimo kako možemo riješiti ovaj sustav.
Rješavanje supstitucijom
Prva metoda koju ćemo razmotriti koristi zamjenu .
Ovdje imamo dvije nepoznanice, d i t . Ideja je riješiti se jedne varijable izražavanjem pomoću druge varijable.
Gornja jednadžba govori nam da je d = 200t , pa priključimo 200t za d u donjoj jednadžbi. Kao rezultat, imamo jednadžbu sa samo varijablom t .
Prvo proširimo desnu stranu: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .
Tada pojednostavljujemo premještanjem nepoznatih članova na jednu, a poznatih članova na drugu stranu. Rezultat je: 500t - 200t = 3000 .
Rješenjem za t dobivamo t = 10 , ili budući da mjerimo vrijeme u minutama, t = 10 minuta . Drugim riječima, majka će sustići sina za 10 minuta.
Drugi dio našeg problema je otkriti koliko je morala biciklirati da bi ga sustigla.
Da bismo odgovorili na to pitanje, moramo pronaći d . Zamjena t = 10 u bilo kojoj jednadžbi dat će nam taj odgovor.
Da biste ga olakšali, upotrijebite gornju jednadžbu, d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Budući da udaljenost mjerimo u jardi, d = 2000 jardi .
Isprobajmo vaše dosadašnje razumijevanje - pokušajte sami riješiti sljedeći sustav:
{y = 2x
y = 3 (x - 1)
Odaberite 1 odgovor
x = 3 i y = 6
x = 1 i y = 2
x = 6 i y = 3
x = 1/2 i y = 2/3
podnijeti
U gornjem sustavu nepoznate su varijable x i y .
Iz gornje jednadžbe znamo da je y = 2x . Zamjenom toga donjoj jednadžbi dobivamo 2 (2x) = 3 (x + 1) .
Jednom kada proširimo i pojednostavimo, dobivamo 4x = 3x + 3 . Ili x = 3 . Prema tome, y = 2 * 3 = 6 .
Rješavanje grafičkim prikazom
Druga metoda koju ćemo razmotriti koristi grafički prikaz ,gdje rješenjem sustava jednadžbi pronalazimo njihovim grafičkim prikazom.
Na primjer, uzmimo ovaj sustav: y = 2x + 3 i y = 9 - x .
Grafikon svake jednadžbe bit će crta. Prva za y = 2x + 3 izgleda ovako:
Dalje, možemo grafički prikazati liniju za y = 9 - x :
Te dvije linije sijeku se točno u jednoj točki. Ova je točka jedino rješenje za obje jednadžbe:
Uređeni par (2, 7) daje nam koordinate naše točke presjeka. Ovaj je par rješenje za sustav. Zamjenom x = 2 i y = 7 to ćemo provjeriti.
Što ako su grafovi paralelni i uopće se ne sijeku? Na primjer:
Kad se grafovi jednadžbi ne sijeku, to znači da naš sustav nema rješenje. Pokušaj rješavanja zamjenom to će dokazati.
Rezultat x - 1 = x - 3 bit će 0 = -2 , što je uvijek netačno .
Ali što ako su dva grafa ista i nalaze se izravno jedan na drugom?
U takvim slučajevima postoji beskonačan broj sjecišta. To znači da naš sustav ima beskonačan broj rješenja. Upotreba metode supstitucije to će dokazati.
Rezultat x - 2 = x - 2 je 0 = 0 , što je uvijek točno .
Više prakse
Pokušajte upotrijebiti i metode supstitucije i grafike za rješavanje sljedećih sustava. Ove se metode međusobno nadopunjuju i pomoći će vam da učvrstite svoje znanje.
{y = 2
3y - 2x = 4
Odaberite 1 odgovor
Sustav nema rješenje
x = 1/2 i y = 1
x = 1 i y = 2
x = 0 i y = 2
podnijeti
Odabir određene varijable koja će se koristiti kao zamjena trebao bi olakšati pronalaženje rješenja.
Pokušajte izraziti x s dva druga člana u gornjoj jednadžbi, a zatim rezultat zamijenite donjom jednadžbom. Tako ćete izbjeći bavljenje razlomcima.
{x + 5y = 7
3x - 2y = 4
Odaberite 1 odgovor
x = 5 i y = 5/2
x = 1 i y = 2
x = 1 i y = 1
x = 2 i y = 1
podnijeti
Napravimo još jedan izazov:
{-6x - 8y = 4
y = -x - 1
Odaberite 1 odgovor
x = -2 i y = 1
Beskonačan broj rješenja
x = 2 i y = -1
x = -1/6 i y = 6
podnijeti
Sad kad znate dovoljno o zamjeni i grafiranju, izađite tamo i riješite više linearnih jednadžbi.