Marsovska matematika

Istražit ćemo brojevne sustave rješavajući jednu od mojih najdražih zagonetki.

Vi ste prvi istraživač na Marsu i otkrili ste matematičku jednadžbu urezanu u stijenu: 12 + 24 = 40. Koliko su prstiju imali Marsovci?

Volim ovu zagonetku jer vas tjera da preispitate svoje cijelo razumijevanje brojeva. Također pokazuje problem u načinu na koji se matematika uči u školi - umjesto da podučavamo za temeljno razumijevanje, mi smo naučeni kako položiti test. Stoga smo zapeli s plitkim razumijevanjem jednostavnih pojmova poput brojeva! Ali dosta propovijedanja, naučimo nešto.

Konceptualno, brojevi su samo količine, ali način na koji ih predstavljamo može varirati. Obično predstavljamo brojeve u brojevnom sustavu base-10. To znači da mjesto svake znamenke u broju predstavlja stepen 10. To jest, broj 123 predstavlja 1 × 10³ + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰. Međutim, moguće je koristiti brojevni sustav koji se ne temelji na moćima od 10. Teško je zamisliti da živite u svijetu koji koristi brojevni sustav koji nije osnovni-10, ali u stvarnosti je način predstavljanja brojeva potpuno proizvoljan! Pa zašto koristimo brojevni sustav zasnovan na 10? Pogađate - imamo 10 prstiju!

Evo male vizualizacije kako funkcionira brojevni sustav zasnovan na 10. Primijetite da svaki put kad se popuni jedan stupac, dodamo još jedan u sljedeći stupac.

Ljepota ovog načina gledanja na brojeve je u tome što se pojam veličine osjeća prirodno za sve brojevne sustave, a ne samo za bazu-10. Pa istražimo neke druge brojevne sustave.

Računala predstavljaju brojeve pomoću binarnog sustava koji je osnovni brojevni sustav. To je isti koncept, osim što se ne prebacujete na sljedeći stupac nakon što se napune 9 točkica, a prevrćete se nakon samo 1.

Programeri često predstavljaju brojeve koristeći heksadecimalni broj koji je sustav brojeva baze-16. To čine zato što binarno nije vrlo kompaktno - potrebne su 4 binarne znamenke samo da bi se predstavio broj 16 - i zato što je 16 stepen 2 što olakšava pretvaranje između dva brojevna sustava.

Budući da bi bilo čudno da broj poput 12 predstavlja samo jedno znamenkasto mjesto kada ga ispisujemo, obično započinjemo odbrojavanje abecede nakon 9. To jest, A predstavlja 10, B predstavlja 11, C predstavlja 12 itd. .

A sada naša zagonetka! Prvo provjerite možete li to sami shvatiti. Ako želite, možete se i sami poigrati alatom za vizualizaciju.

Već sam vam dao veliki savjet - imamo brojevni sustav zasnovan na 10 jer imamo 10 prstiju! Dakle, ako možemo pronaći brojevni sustav u kojem ti simboli predstavljaju brojeve koji zadovoljavaju jednadžbu, tada smo riješili zagonetku.

Postoji izravniji način pronalaska odgovora, ali iskoristimo samo našeg dobrog prijatelja "pogodi i provjeri". Budući da svaki Marsovac u svakoj pop-kulturnoj referenci ima 6 prstiju, dajmo to malo.

Prisjetimo se jednadžbe za referencu: 12 + 24 = 40.

Kao što vidite, 8 je predstavljeno kao 12 u sustavu brojeva base-6. To je zato što je 8 = 1 × ⁶¹ + 2 × ⁶⁰.

Ovdje možete vidjeti da je 16 predstavljeno kao 23 u brojevnom sustavu base-6.

I na kraju, 24 je predstavljeno kao 40u brojevnom sustavu base-6. Dakle, ako bismo pretvorili ovu jednadžbu u brojevni sustav baze-10, imali bismo 8 + 16 = 24. Dakle, postoji odgovor na zagonetku - Marsovci imaju 6 prstiju!

Teško je razumjeti ovu jednadžbu jer smo tako naučili mehanički rješavati matematičke zadatke. Ali mi zapravo svakodnevno koristimo ne-bazne brojevne sustave. Kladim se da vam ova jednadžba ima smisla: 0:30 + 1:45 = 2:15. Vrijeme je savršen primjer brojevnog sustava koji nije baza-10. A ako živite u SAD-u i morate koristiti naš grozni mjerni sustav, svugdje ćete pronaći čudne brojevne sustave.

Na kraju, nadam se da ste stekli ovim člankom uvažavanje razlike između pojmova poput veličina i simboličkih prikaza koje koristimo za kodiranje tih pojmova. Takvi su suptilni koncepti mnogo važniji od dosadašnjeg zbrajanja dva broja na papiru.

PS Pogledajte aparat! To je nevjerojatan softver za stvaranje interaktivnih dijagrama.

Ako vas zanimaju ovakve stvari, možda ćete uživati ​​u čitanju mog tjednog biltena o svemu što mi se čini zanimljivim. Možete se pretplatiti ovdje.