Eulerova metoda objašnjena na primjerima

Što je Eulerova metoda?

Eulerova metoda je numerički postupak prvog reda za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi (ODE) s danom početnom vrijednošću.

Opći problem početne vrijednosti

Metodologija

Eulerova metoda koristi jednostavnu formulu,

konstruirati tangentu u točki xi dobiti vrijednost y(x+h)čiji je nagib,

U Eulerovoj metodi možete aproksimirati krivulju otopine tangentom u svakom intervalu (odnosno nizom kratkih segmenata crte), u koracima od h.

Općenito , ako koristite malu veličinu koraka, točnost aproksimacije se povećava.

Opća formula

Funkcionalna vrijednost u bilo kojoj točki b, dana sy(b)

gdje,

  • n = broj koraka
  • h = širina intervala (veličina svakog koraka)

Pseudokod

Primjer

Pronađi y(1), dano

Rješavajući analitički, rješenje je y = ex i y(1)= 2.71828. (Napomena: Ovo analitičko rješenje služi samo za usporedbu točnosti.)

Koristeći Euler metoda, s obzirom h= 0.2, 0.1, 0.01, možete vidjeti rezultate na slici ispod.

Kada h= 0.2, y(1)= 2.48832(pogreška = 8,46%)

Kada h= 0.1, y(1)= 2.59374(pogreška = 4,58%)

Kada h= 0.01, y(1)= 2.70481(pogreška = 0,50%)

Možete primijetiti kako se preciznost poboljšava kad su koraci mali.