Popunjavanje formule kvadrata: Kako popuniti kvadrat kvadratnom jednadžbom

Razmotrimo sljedeću kvadratnu jednadžbu: x2 = 9 . Ako se od nas zatraži da to riješimo, prirodno bismo uzeli kvadratni korijen iz 9 i na kraju dobili 3 i -3 . Ali što ako jednostavne metode kvadratnog korijena neće uspjeti? Što ako jednadžba uključuje x podignut na prvi stepen i ne može se lako računati na faktor?

Srećom, postoji metoda za dovršavanje kvadrata . Kao rezultat toga, kvadratna se jednadžba može riješiti kvadratnim korijenom. Istražimo zajedno korak po korak.

Recimo da smo dobili sljedeću jednadžbu:

PRIMJER 1: Dovršavanje kvadrata

KORAK 1: Odvojite varijabilne pojmove od stalnog pojma

Pojednostavnimo našu jednadžbu. Prvo odvojite pojmove koji uključuju varijable od konstantnih pojmova. Dalje, oduzmi x od 13x (rezultat je 12x ) i oduzmi 7 od 6 (rezultat je -1 ).

KORAK 2: Osigurajte da je koeficijent X na kvadrat jednak 1

Metoda popunjavanja kvadrata djeluje puno lakše kada je koeficijent x2 jednak1 . Koeficijent je u našem slučaju jednak 4 . Dijeljenje4 u svakog člana rezultira x2 + 3x = - 1/4 .

3. KORAK: Dovršite trg

Prvo moramo pronaći konstantni član našeg cjelovitog kvadrata. Koeficijent x , koji je jednak3 je podijeljeno s 2 i na kvadrat, što nam daje 9/4 .

Zatim zbrajamo i oduzimamo 9/4 kao što je gore prikazano. To ne utječe na našu jednadžbu ( 9/4 - 9/4 = 0 ), ali daje nam izraz za potpuni kvadrat x2 + 3x + 9/4 .

KORAK 4: Faktor Izraz X na kvadrat + 3X + 9/4

Sjetimo se sada općenitijeg (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 i upotrijebimo ga u trenutnom primjeru. Zamjenom naših brojeva dobivamo:   x2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2) 2 = (x + 3/2) 2 .

5. KORAK: Uzmite kvadratni korijen

Konačno, uzimanje kvadratnog korijena s obje strane daje nam √ (x + 3/2) 2 = ± √2 . Ili jednostavnox + 3/2 = ± √2 . To zaključujemo rješavanjem za x : X 1 = √2 - 3/2i X 2 = - √2 - 3/2 .

PRIMJER 2: Riješimo još jedno

KORAK 1: Odvojite varijabilne pojmove od stalnog pojma

Pojednostavite razdvajanjem pojmova s ​​varijablama od stalnih pojmova. Zatim izvedite oduzimanje i zbrajanje na obje strane jednadžbe.

KORAK 2: Uvjerite se da je koeficijent x na kvadrat jednak 1

Ovdje je koeficijent X2 već jednak 1 , pa nisu potrebne daljnje radnje.

3. KORAK: Dovršite trg

Kao i u prethodnom primjeru, pronašli smo konstantni član našeg cjelovitog kvadrata. Koeficijent x , koji je jednak-8 je podijeljeno s 2 i na kvadrat, što nam daje 16 .

Zbrajamo i oduzimamo 16 i vidimo da nam x2 - 8x + 16 daje potpuni kvadrat.

KORAK 4: Faktor Izraz X na kvadrat - 8X + 16

Budući da je konstanta -8 sa znakom minus, koristimo ovaj opći oblik: (x - a) 2 = x2 - 2ax + a2 . Korištenje naših brojeva daje nam: x2 - 8x + 16 = x2 - 2 * (4) * x + (4) 2 = (x - 4) 2 .                              

5. KORAK: Uzmite kvadratni korijen

Napokon, uzimanje kvadratnog korijena s obje strane daje nam √ (x - 4) 2 = ± √11 . Ili jednostavnox - 4 = ± √11 . To zaključujemo rješavanjem za x : X 1 = 4 + √11i X 2 = 4 - √11

Eto ti ga!